Μέτρηση της ταχύτητας των δακτυλίων του Κρόνου χρησιμοποιώντας βασικές αρχές φυσικής

Περιληπτικά...

Το πιο εντυπωσιακό χαρακτηριστικό του Κρόνου είναι αναμφισβήτητα οι δακτύλιοι που περιβάλλουν το γιγάντιο αέριο πλανήτη. 

Πώς όμως διατηρούνται στη θέση τους οι δακτύλιοι; 

Γιατί δεν πέφτουν πάνω στον Κρόνο; 

Στο πλαίσιο του προτζεκτ που ακολουθεί, αρχικά αναζητήθηκαν πληροφορίες για τη δομή, τη φύση και τη προέλευση των δακτυλίων. Στη συνέχεια μελετήθηκαν υψηλής ευκρίνειας φωτογραφίες τους με λογισμικό επεξεργασίας εικόνων και υπολογίστηκαν οι ακτίνες περιφοράς των διάφορων τμημάτων των δακτυλίων, σε σχέση με την ισημερινή ακτίνα του Κρόνου. Κατόπιν εφαρμόστηκαν βασικές αρχές της φυσικής για να υπολογιστούν η ταχύτητα περιφοράς των διάφορων τμημάτων των δακτυλίων. Οι τιμές που προέκυψαν συγκρίθηκαν με τιμές που είναι δημοσιευμένες και αποδεκτές από την επιστημονική κοινότητα.

Εισαγωγή

Ο Κρόνος είναι ο δεύτερος μεγαλύτερος πλανήτης του ηλιακού μας συστήματος μετά το Δία και ο έκτος πλανήτης σε απόσταση από τον Ήλιο. Χαρακτηρίζεται ως αέριος γίγαντας γιατί αποτελείται κυρίως από αέριο υδρογόνο, ήλιο και ίχνη νερού, μεθανίου και αμμωνίας που σχηματίζουν μια βαριά δηλητηριώδη ατμόσφαιρα. Η πυκνότητα του, που είναι μόλις 0,7gr/cm^{3 [1]} , είναι η μικρότερη από όλους τους πλανήτες, και για τον όγκο του είναι τόσο ελαφρύς ώστε αν τον ρίχναμε σ' έναν τεράστιο φανταστικό ωκεανό νερού θα μπορούσε να επιπλεύσει. Λόγω της ελαφρύτερης σύνθεσής του, της πολύ γρήγορης περιστροφής του γύρω από τον άξονά του (μια μέρα στον Κρόνο διαρκεί μόλις 10 ώρες και 39 λεπτά ^[1]) και της ρευστής κατάστασής του, ο Κρόνος είναι εμφανώς συμπιεσμένος στους πόλους. Η ισημερινή διάμετρος του Κρόνου είναι 120.536km, ενώ η πολική διάμετρος μόλις 108.728km ^[1]. Ο άξονας περιστροφής του Κρόνου (όπως και αυτός της Γης) έχει μία κλίση. Αυτή η κλίση του ισημερινού προς το επίπεδο της τροχιάς ανέρχεται στις 26,73⁰ ^[2]. 

Εικόνα 1. Η περιφορά του Κρόνου και της Γης γύρω από τον ήλιο και οι διαφορετικές όψεις των δακτυλίων του Κρόνου από τη Γη^[5].

Το πιο εντυπωσιακό χαρακτηριστικό του Κρόνου είναι το σύστημα των δακτυλίων του. Σε πρόσφατες φωτογραφίες του Κρόνου μπορούμε να δούμε χιλιάδες δακτυλίους που περικυκλώνουν τον πλανήτη, όπως οι ραβδώσεις ενός δίσκου βινυλίου. Αρχίζουν από την κορυφή σχεδόν των νεφών του Κρόνου και εκτείνονται μέχρι την απόσταση των 480.000 χιλιομέτρων^[3], ενώ το πάχος τους δεν ξεπερνάει το ένα χιλιόμετρο. Συγκριτικά είναι σαν να είχαμε μια πίτα με διάμετρο 1.400 μέτρων και πάχος πέντε χιλιοστών. Παρατηρήθηκαν^[4] για πρώτη φορά to 1610 από τον Γαλιλαίο, ο οποίος, δεν μπόρεσε να εξηγήσει ικανοποιητικά αυτό που έβλεπε. Το 1655 ο Ολλανδός αστρονόμος Κρίστιαν Χόυχενς (Christiaan Huygens), κοιτάζοντας τον Κρόνο με ένα πιο ισχυρό τηλεσκόπιο, παρατήρησε το σύστημα των δακτυλίων γύρω από τον ισημερινό του και έτσι μπόρεσε να εξήγησε γιατί οι δακτύλιοι έμοιαζαν να εξαφανίζονται κάθε φορά που το επίπεδο πάνω στο οποίο βρίσκονται συνέπιπτε με το επίπεδο της παρατήρησής τους από τη Γη (Εικόνα 1).

 

Οι δακτύλιοι, οι οποίοι χωρίζονται^[3] σε πολλές περιοχές με μικρά συνήθως κενά ανάμεσά τους, πήραν τα ονόματά τους από τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου. Ξεκινώντας από αυτόν που βρίσκεται πιο κοντά στην επιφάνεια του Κρόνου είναι D, C, B, A, F, G, E (Εικόνα 2). Τα ονόματα των δακτυλίων προφανώς δεν είναι με αλφαβητική σειρά αλλά με την σειρά που ανακαλύφθηκαν. Οι δακτύλιοι Α, Β και C είναι οι πιο φωτεινοί και είναι ορατοί από τα τηλεσκόπια πάνω στη Γη. Το μεγαλύτερο κενό μεταξύ των δακτυλίων είναι το χάσμα Cassini που χωρίζει τον Α από τον Β δακτύλιο. Το ανακάλυψε ο Τζιοβάνι Κασσίνι (Jiovanni Cassini) το 1675 από τον οποίο και πήρε το όνομά του. Το 1837 ο αστρονόμος Γιόχαν Ένκε (Johann Enke), παρατήρησε ένα μικρότερο κενό στη μέση περίπου του δακτυλίου A όπου και αυτό πήρε το όνομά του (χάσμα Encke). Οι δακτύλιοι D, F, και G αποκαλύφτηκαν στις φωτογραφίες που στάλθηκαν από τα διαστημικά σκάφη Pioneer και Voyager. Ο Ε δακτύλιος του Κρόνου αποτελείται από πάγο νερού και οργανικές ενώσεις που εκτινάσσονται από το δορυφόρο Εγκέλαδο με τη μορφή πιδάκων.

Εικόνα 2. Δομή των δακτυλίων του Κρόνου. Ο Κρόνος βρίσκεται στα αριστερά της εικόνας^[6].

Το 2004 το διαστημικό σκάφος Cassini^[7] έφτασε στην περιοχή του Κρόνου και έδωσε πολλές πολύτιμες πληροφορίες. Όπως φάνηκε ξεκάθαρα από κοντά, οι δακτύλιοι δεν είναι συμπαγείς και αποτελούνται κυρίως από σημαντικές ποσότητες πάγου (νερού). Κομμάτια πάγου δείχνουν να περιστρέφονται μαζί με θραύσματα μετάλλων, κόκκους σκόνης και κομμάτια βράχων σε μέγεθος έως και ενός σπιτιού. Παρόλα αυτά δεν έχει ακόμη διευκρινισθεί ο τρόπος με τον οποίο δημιουργήθηκαν οι δακτύλιοι αυτοί. Ίσως, όταν σχηματίστηκε ο Κρόνος, να άφησε κοντά του αχρησιμοποίητα υλικά που δεν κατόρθωσαν να σχηματίσουν κάποιον δορυφόρο. Ίσως πάλι, δημιουργήθηκαν από μεγάλους δορυφόρους του Κρόνου που περιστρέφονταν γύρω από τον πλανήτη και θρυμματίστηκαν από την σύγκρουσή τους μεταξύ τους ή από την πρόσκρουσή τους με κομήτες και μετεωροειδείς^[8].

Πώς όμως παραμένουν τα υλικά των δακτυλίων σε τροχιά γύρω από τον Κρόνο; Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει να έχουν μια συγκεκριμένη ταχύτητα: διαφορετικά, αν είχαν μεγαλύτερη ταχύτητα θα διέφευγαν στο διάστημα, ενώ αν είχαν μικρότερη ταχύτητα θα έπεφταν πάνω στον Κρόνο. Σκοπός της εργασίας μας είναι να υπολογίσουμε τις ταχύτητες των υλικών των διάφορων δακτυλίων πραγματοποιώντας μετρήσεις σε φωτογραφίες τους και εφαρμόζοντας βασικές αρχές της φυσικής.

Επεξεργασία

Αρχικά, παρατηρώντας φωτογραφίες υψηλής ευκρίνειας του Κρόνου, υποθέσαμε ότι η κίνηση των υλικών στους δακτυλίους είναι κυκλική. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει σε κάθε κομμάτι μάζας m του υλικού των δακτυλίων, που κινείται με ταχύτητα υ σε απόσταση R από το κέντρο του Κρόνου, να ασκείται κεντρομόλος δύναμη, η οποία είναι ίση με:

Υποθέσαμε ακόμα ότι τον αποκλειστικό ρόλο της κεντρομόλου δύναμης έχει η βαρυτική δύναμη που ασκεί ο Κρόνος στα υλικά των δακτυλίων. Στην πραγματικότητα για να παραμείνουν οι δακτύλιοι στη θέση τους, παίζουν ρόλο και οι βαρυτικές έλξεις που ασκούν οι δορυφόροι του Κρόνου^[8]. Στο πλαίσιο, όμως, αυτής της εργασίας δεν λάβαμε υπόψη τις δυνάμεις αυτές. H βαρυτική δύναμη που ασκείται από τον Κρόνο σε κάθε κομμάτι μάζας m του υλικού των δακτυλίων, που βρίσκεται σε απόσταση R από το κέντρο του Κρόνου, σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης, είναι ίση με:

Εξισώνοντας αυτές τις δύο δυνάμεις προκύπτει ότι η ταχύτητα των υλικών των δακτυλίων δίνεται από τη σχέση:

όπου η σταθερά της παγκόσμιας έλξης είναι G = 6,67∙10^-11 N m² Kg^-2 και η μάζα του Κρόνου M_s = 5,69 ∙ 10²⁶ Kg ^[2]. Η ταχύτητα αυτή δεν εξαρτάται από τη μάζα m των υλικών των δακτυλίων. Άρα για να υπολογίσουμε την ταχύτητα υ, αρκεί να μετρήσουμε την απόσταση R των δακτυλίων από το κέντρο του Κρόνου.

Για να μετρήσουμε την απόσταση των δακτυλίων από το κέντρο του Κρόνου αναζητήσαμε μια κατάλληλη φωτογραφία. Η φωτογραφία αυτή θα έπρεπε να δείχνει τους δακτυλίους του Κρόνου όσο το δυνατόν πιο κυκλικούς. Μια τέτοια φωτογραφία δεν ήταν δυνατόν να έχει τραβηχτεί από τη επιφάνεια της Γης καθώς το επίπεδο των δακτυλίων δεν είναι ποτέ ορατό κάθετα από το επίπεδο παρατήρησης στη Γη (Εικόνα 1). Το διαστημικό σκάφος Cassini, το οποίο ταξίδεψε πάνω από τους πόλους του Κρόνου, μας έστειλε πολλές φωτογραφίες από την περιοχή. Έτσι κάνοντας κολλάζ (mosaic), οι αστρονόμοι σχημάτισαν φωτογραφίες που δείχνουν ολόκληρο το επίπεδο των δακτυλίων του Κρόνου (πάνω από τους πόλους του Κρόνου το επίπεδο παρατήρησης είναι σχεδόν κάθετο στο επίπεδο των δακτυλίων).

Εικόνες 3α^[9] και 3β^[10]. Φωτογραφίες του Κρόνου.

Από τις φωτογραφίες που βρήκαμε επιλέξαμε την Εικόνα 3β (δεξιά) γιατί στο κέντρο της διακρίνουμε τον πλανήτη Κρόνο. Η φωτογραφία αυτή φτιάχτηκε από κολλάζ 27 φωτογραφιών - εννέα διαφορετικές φωτογραφίες καθεμία από τις οποίες τραβήχτηκε με τρία φίλτρα (κόκκινο, πράσινο, μπλε). Στο κέντρο της φωτογραφίας ο Κρόνος έχει αλλοιωμένα χρώματα λόγω της υπερέκθεσης των επιμέρους φωτογραφιών.

Η επεξεργασία της φωτογραφίας έγινε με τη βοήθεια του λογισμικού Paint (Ζωγραφική) των Windows 7. Ως πρώτο βήμα έπρεπε να προσδιορίσουμε το κέντρο του Κρόνου. Αρχικά, επιλέξαμε το κέντρο εκτιμώντας τη θέση του κατά προσέγγιση. Οι τιμές όμως των ακτινών περιφοράς που υπολογίζαμε, και κατά συνέπεια των ταχυτήτων, ήταν διαφορετικές ανάλογα με το ποιος έκανε τη μέτρηση.

Προβληματιστήκαμε ιδιαίτερα προκειμένου να βρούμε μία αξιόπιστη μέθοδο προσδιορισμού του κέντρου του Κρόνου. Η λύση ήρθε από τη γεωμετρία: φέραμε 2 χορδές και στη συνέχεια σχεδιάσαμε την κάθετη που περνά από το μέσο της κάθε χορδής (μεσοκάθετος). Το σημείο τομής των δύο μεσοκαθέτων ήταν το κέντρο του κυκλικού δίσκου του Κρόνου.

Κατόπιν σχεδιάσαμε με κόκκινο χρώμα την ακτίνα του Κρόνου στη φωτογραφία (Εικόνα 4α αριστερά) και μετρήσαμε την απόσταση αυτή σε pixel. Θεωρώντας ότι η ακτίνα αυτή αντιστοιχεί στην ισημερινή ακτίνα του Κρόνου (αφού βλέπουμε τον Κρόνο από τους πόλους), η οποία είναι ίση με 60.268 km,^[1] μπορέσαμε να κάνουμε βαθμονόμηση των αποστάσεων. Κατόπιν, σχεδιάσαμε την προέκταση της ακτίνας αυτής στους δακτυλίους με μπλε χρώμα (Εικόνα 4β δεξιά) και έτσι μπορέσαμε να μετρήσουμε με ευκολία την απόσταση R διάφορων δακτυλίων από το κέντρο του Κρόνου. Συγκεκριμένα, μετρήσαμε την εσωτερική (inner) και την εξωτερική (outer) ακτίνα των δακτυλίων Α, B και C (δηλαδή τα άκρα των δακτυλίων Α, B και C τα οποία προσδιορίστηκαν με τη βοήθεια της Εικόνας 2) και την ακτίνα του δακτυλίου F, καθώς μόνο αυτοί ήταν διακριτοί στην φωτογραφία.

 

Εικόνες 4α και 4β. Μετρώντας τις ακτίνες των δακτυλίων.

Στη συνέχεια αφού καταγράψαμε τα αποτελέσματα των μετρήσεων μας στο λογισμικό Excel, κάναμε τους απαραίτητους υπολογισμούς για να βρούμε την ταχύτητα των υλικών των δακτυλίων σε αυτή την απόσταση (εξίσωση 3). Έτσι προέκυψε ο Πίνακας 1.

 

Πίνακας 1.

Στις δυο τελευταίες στήλες του Πίνακα 1 φαίνεται η ταχύτητα των υλικών αυτών των δακτυλίων που αναφέρεται στη βιβλιογραφία^[11] καθώς και το σφάλμα των μετρήσεών μας.

Συμπεράσματα

Ο Κρόνος είναι ίσως ο πιο εντυπωσιακός πλανήτης του Ηλιακού μας συστήματος, λόγω των περίφημων δακτυλίων που τον περιβάλλουν. Η δομή των δακτυλίων είναι ιδιαίτερα περίπλοκη, ενώ ο τρόπος σχηματισμού τους παραμένει ακόμη άγνωστος. Η απόσταση, όμως, και μόνο των δακτυλίων από το κέντρο του Κρόνου αρκεί για να υπολογίσουμε τις ταχύτητες περιφοράς τους. Θεωρώντας ότι η κίνηση αυτή είναι κυκλική και γίνεται υπό την επίδραση της βαρυτικής έλξης του Κρόνου, καταφέραμε να υπολογίσουμε με πολύ μεγάλη ακρίβεια αυτές τις ταχύτητες. Το ποσοστιαίο σφάλμα είναι ιδιαίτερα μικρό (Πίνακας 1), γεγονός που υποδεικνύει ότι οι προσεγγίσεις που κάναμε ήταν εύλογες και δεν είχαν επίδραση στα αποτελέσματά μας.

Ιδιαίτερη εντύπωση δημιουργεί το γεγονός ότι οι ταχύτητες των υλικών είναι διαφορετικές μέσα σε ένα δακτύλιο (κάτι που αναμενόταν βέβαια από την εξίσωση 3) προβληματίζοντας επιπλέον για τον τρόπο σχηματισμού των δακτυλίων.

Εφόσον είχαμε πρόσβαση σε φωτογραφίες που απεικονίζουν και τα υπόλοιπα τμήματα των δακτυλίων θα μπορούσαμε να επεκτείνουμε τις μετρήσεις μας. Δυστυχώς, όμως, δεν καταφέραμε να εντοπίσουμε κατάλληλες φωτογραφίες στο διαδίκτυο, παρά την εκτεταμένη έρευνα που επιχειρήσαμε. Ενδεχομένως τέτοιες φωτογραφίες να αναρτηθούν στο μέλλον καθώς η αποστολή Cassini είναι σε εξέλιξη.

Βιβλιογραφία

[1] http://www.esa.int/esaMI/Cassini-Huygens/SEMV75HHZTD_0.html

[2] http://solarsystem.nasa.gov/planets/profile.cfm?Object=Saturn&Display=Facts

[3] http://solarsystem.nasa.gov/planets/profile.cfm?Object=Saturn&Display=Rings

[4] http://el.wikipedia.org/wiki/Δακτύλιοι_του_Κρόνου

[5] http://mydarksky.org/2008/03/26/saturns-rings-are-disappearing/

[6] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Saturn%27s_rings_dark_side_mosaic.jpg

[7] http://saturn.jpl.nasa.gov/index.cfm

[8] http://saturn.jpl.nasa.gov/files/RWR_grades3-4_lesson5_Booklet3_2007.pdf

[9] http://pds-rings.seti.org/saturn/cassini/PIA08361.html

[10] http://www.strudel.org.uk/blog/astro/200701.shtml

     [11] http://www2.jpl.nasa.gov/saturn/fact.html