Προσομοίωση ανίχνευσης εξωπλανητών με τη μέθοδο της διάβασης

Η εργασία που παρουσιάζεται εδώ αποτελεί το προϊόν μιας προσπάθειας που ξεκίνησε στο πλαίσιο του κατ' επιλογήν μαθήματος της Αστρονομίας της Β' Λυκείου. Στην προσπάθεια αυτή συμμετείχαν οι μαθητές του 2ου Γενικού Λυκείου Εχεδώρου Άγγελος Σ., Σοφία Μ., Σοφία Σ. και Λία Π..

Η εργασία παρουσιάστηκε στον 1ο Πανελλήνιο Διαγωνισμό Αστρονομίας που διοργάνωσε η Ένωση Ελλήνων Φυσικών (Δεκέμβριος 2009) και απέσπασε το 1ο βραβείο στην κατηγορία των ηλεκτρονικών εργασιών.

Το μικρό κόστος κτήσης του ηλεκτρονικού εξοπλισμού που απαιτείται (Scratchboard) καθιστά πολύ εύκολη την αξιοποίηση της προσομοίωσης στη διδασκαλία της Αστρονομίας σε όλα τα Γενικά Λύκεια, επιτρέποντας στους μαθητές να ασχοληθούν με ένα πολύ σύγχρονο θέμα, την αναζήτηση εξωπλανητών, απογειώνοντας το ενδιαφέρον τους και εκτοξεύοντας τη δημιουργικότητά τους! Μπορείτε είτε απλά να χρησιμοποιήσετε την προσομοίωση για να κάνουν οι μαθητές σας μετρήσεις και να καταλήξουν σε συμπεράσματα, είτε να ακολουθήσετε την πορεία που περιγράφεται για να στήσετε τη δική σας προσομοίωση.

(Λόγω της αξιοποίησης σε αυτό το σενάριο του Scratchboard, θα ήταν ενδεχομένως χρήσιμο καταρχάς να ενημερωθείτε  για το Scratchboard από αυτή τη σελίδα του ιστολογίου.)

Εισαγωγή

Εξωηλιακός πλανήτης ή εξωπλανήτης ονομάζεται κάθε πλανήτης που δεν ανήκει στο δικό μας Ηλιακό σύστημα, δεν περιφέρεται δηλαδή γύρω από τον Ήλιο. Η ύπαρξή τους αποτελούσε ήδη από τα μέσα του 19ου αιώνα ένα από τα μεγαλύτερα αινίγματα της αστρονομίας, καθώς αν και υποθέτονταν η ύπαρξή τους, δεν υπήρχαν τα τεχνικά μέσα για να εντοπιστούν. Ο πρώτος εξωπλανήτης ανακαλύφθηκε το 1995: ένας αέριος γίγαντας που περιστρέφεται γύρω από το άστρο 51 Pegasi. Μέχρι σήμερα έχουν εντοπιστεί σχεδόν 480 εξωηλιακοί πλανήτες. Οι πλανήτες είναι εξαιρετικά αμυδρά αντικείμενα σε σχέση με τα άστρα γύρω από τα οποία περιφέρονται. Κατά συνέπεια, πέρα από κάποιες πολύ συγκεκριμένες συνθήκες, οι εξωπλανήτες είναι αδύνατο να παρατηρηθούν με τηλεσκόπιο από τη Γη. Έτσι έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι εντοπισμού. Οι πιο διαδεδομένες είναι, ονομαστικά, οι εξής: η αστρομετρία, η μέτρηση της μεταβολής της ακτινικής ταχύτητας ενός άστρου ή μέθοδος Doppler, η χρονομέτρηση πάλσαρ, η μέθοδος διάβασης, η βαρυτική μικροεστίαση (φαινόμενο βαρυτικού φακού) και η έκλειψη σε διπλά συστήματα άστρων.

Στην εργασία μας ασχοληθήκαμε αποκλειστικά με τη μέθοδο της διάβασης. Όταν ένας πλανήτης περάσει μπροστά από το δίσκο του άστρου του, η φαινόμενη φωτεινότητα του άστρου ελαττώνεται κατά ένα ποσοστό.

Η μέθοδος της διάβασης. Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Planetary_transit.svg

Το ποσοστό της μείωσης αυτής εξαρτάται από το σχετικό μέγεθος του άστρου και του πλανήτη. Όσο πιο μεγάλος είναι ο πλανήτης σε σχέση με το άστρο τόσο μεγαλύτερο θα είναι το ποσοστό της μείωσης. Για παράδειγμα, για τον πλανήτη που περιφέρεται γύρω από το άστρο HD 209458 το ποσοστό αυτό είναι 1.7%. Η αντίστοιχη καμπύλη φωτός, φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Η καμπύλη φωτός του άστρου HD209458. 
Πηγή: http://www.hao.ucar.edu/research/stare/hd209458.html

Η μέθοδος της διάβασης παρουσιάζει δύο, κυρίως, μειονεκτήματα. Για να παρατηρηθεί η διάβαση  από τη δική μας θέση παρατήρησης πρέπει η τροχιά του πλανήτη να τέμνει το δίσκο του ήλιου του. Υπολογίζεται ότι η πιθανότητα να συμβεί κάτι τέτοιο για έναν πλανήτη που περιστρέφεται γύρω από ένα άστρο με τις διαστάσεις του Ήλιου σε απόσταση ίση με την απόσταση Γης-Ήλιου είναι μόλις 0,47%. Επιπλέον, η μέθοδος εμφανίζει υψηλό αριθμό λανθασμένων ανιχνεύσεων: η μείωση της φωτεινότητας ενός άστρου μπορεί να οφείλεται σε διάφορους λόγους που δε σχετίζονται με τη διάβαση κάποιου πλανήτη. Έτσι η μέθοδος χρησιμοποιείται σε συνεργασία με άλλες μεθόδους. Επειδή η μείωση της φωτεινότητας του άστρου εξαρτάται από τα μέγεθος, δηλαδή την ακτίνα, του πλανήτη, με τη μέθοδο της διάβασης επιτυγχάνεται ο προσδιορισμός της ακτίνας του πλανήτη κι επομένως ο όγκος του. Με άλλες μεθόδους ανίχνευσης μπορούμε να μετρήσουμε τη μάζα του ίδιου πλανήτη (π.χ. μέθοδος Doppler) άρα να υπολογίσουμε την πυκνότητά του. Έτσι μπορούμε να ξέρουμε αν πρόκειται για αέριο ή στερεό πλανήτη.

Η αρχική προσομοίωση

Για να προσομοιώσουμε τη μέθοδο ανίχνευσης εξωπλανητών με τη μέθοδο της διάβασης δημιουργήσαμε αρχικά μια προσομοίωση της διάβασης ενός πλανήτη μπροστά από το δίσκο ενός άστρου, χρησιμοποιώντας το λογισμικό PowerPoint. Μέσα από ένα κεντρικό μενού έχουμε τη δυνατότητα να επιλέξουμε το μέγεθος του πλανήτη ανάμεσα από 6 επιλογές. Καθώς η προσομοίωση ξεκινά, εμφανίζεται μια ιδιαίτερα φωτεινή εικόνα του Ήλιου η οποία γεμίζει την οθόνη του υπολογιστή. Από αριστερά προς τα δεξιά αρχίζει να κινείται ο πλανήτης μας: ένας μαύρος κύκλος για τον οποίο έχουμε προσδιορίσει τόσο το σημείο εισόδου και το σημείο εξόδου του, όσο και την προσαρμοσμένη κίνηση που θα εκτελέσει . Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται δυο στιγμιότυπα αυτής της κίνησης. Μπορείτε να κατεβάσετε μία εκτελέσιμη μορφή μιας τέτοιας διάβασης από εδώ.

Δυο στιγμιότυπα της προσομοίωσης της διάβασης ενός πλανήτη με το PPT

Το επόμενο βήμα ήταν να καταγράψουμε τη μείωση της φωτεινότητας του άστρου εξαιτίας της διάβασης του πλανήτη. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιήσαμε το λογισμικό Scratch και την πλακέτα Scratchboard.

Το Scratch, το οποίο είναι ελεύθερο λογισμικό, αποτελεί μια σχετικά νέα γλώσσα προγραμματισμού, σχεδιασμένη για την εκπαίδευση, για χρήση από την ηλικία των 8 ετών. Επιτρέπει στους χρήστες να δημιουργήσουν εύκολα διαδραστικές ιστορίες, κινούμενα σχέδια, ηλεκτρονικά παιχνίδια, μουσική και ψηφιακή τέχνη. Το λογισμικό Scratch, παρέχεται πλήρως εξελληνισμένο από την έκδοση 1.3 και διατίθεται δωρεάν στη διεύθυνση http://srcatch.mit.edu/download.

Το Scratchboard είναι μία ηλεκτρονική πλακέτα  με αισθητήρες η οποία επικοινωνεί με το Scratch. Περισσότερα για το Scratchboard μπορείτε να βρείτε εδώ, ενώ κάνοντας κλικ στην ετικέτα Scratchboard στο "σύννεφο" ετικετών πάνω δεξιά σε αυτή τη σελίδα, μπορείτε να δείτε διάφορες εφαρμογές που έχουμε πραγματοποιήσει με αυτή την πλακέτα.

Για να επιτύχουμε την επικοινωνία του Scratch με το Scratchboard γράψαμε ένα μικρό κομμάτι κώδικα με τον τίτλο light_measure, το οποίο μπορείτε να κατεβάσετε από εδώ. Για να μπορέσετε να ανοίξετε το αρχείο πρέπει να έχετε εγκαταστήσει το Scratch.

Ο κώδικας του προγράμματος light_measure που γράψαμε για να καταγράψουμε την φωτεινότητα του ‘άστρου’ και το περιβάλλον εργασίας του Scratch

Η διάταξη που χρησιμοποιήσαμε φαίνεται στο παρακάτω βίντεο. 

Χρησιμοποιήσαμε 2 φορητούς ηλεκτρονικούς υπολογιστές: ο ένας «έτρεχε» την προσομοίωση της διάβασης ενώ ο δεύτερος έπαιρνε μετρήσεις μέσω της πλακέτας και του λογισμικού. Όπως φαίνεται και στο βίντεο, το Scratchboard είχε τοποθετηθεί μπροστά από την οθόνη του πρώτου υπολογιστή, σε απόσταση περίπου 11 cm από αυτή. Η απόσταση αυτή επιλέχθηκε μετά από αρκετούς πειραματισμούς ώστε να προκύπτουν αξιόπιστες μεταβολές της έντασης του φωτός, ανεξάρτητες δηλαδή από την απόσταση από την οθόνη και την ακτίνα του εξωπλανήτη. Για παράδειγμα, όταν η πλακέτα τοποθετήθηκε ακόμη πιο κοντά στην οθόνη και ταυτόχρονα η ακτίνα του εξωπλανήτη ήταν αρκετά μεγάλη ώστε να καλύπτει μεγάλο μέρος της φωτεινής επιφάνειας του "άστρου", προέκυπταν ποσοστιαίες μεταβολές της φωτεινότητας οι οποίες δε μεταβάλλονταν με την περαιτέρω αύξηση της ακτίνας του εξωπλανήτη. Αυτό συνέβαινε γιατί ο αισθητήρας φωτός του Scratchboard ήταν τόσο κοντά ώστε να μην "βλέπει" ολόκληρο το δίσκο του άστρου αλλά μόνο το σκοτεινό δίσκο του εξωπλανήτη. Αντίστοιχα, όταν η πλακέτα τοποθετήθηκε σε μεγαλύτερες αποστάσεις από την οθόνη, τα δεδομένα που συλλέγονταν επηρεάζονταν από το διάχυτο φωτισμό του εργαστηρίου.

Οι μετρήσεις

Η διαδικασία των μετρήσεων που ακολουθήσαμε ήταν η εξής:

• Αρχικά, επιλέγαμε την ακτίνα του πλανήτη και ενεργοποιούσαμε την παρουσίαση του Power Point.
• Καταγράφαμε τις ενδείξεις του αισθητήρα φωτός του Scratchboard, για τα λίγα δευτερόλεπτα που διαρκούσε η διάβαση, με τον κώδικα που γράψαμε στο Scratch (light_measure).
• Δεδομένου ότι το light_measure  αποθηκεύει τα δεδομένα σε αρχείο τύπου .txt, επεξεργαζόμασταν αυτό το αρχείο με το Excel για να δημιουργήσουμε γραφικές παραστάσεις των καμπυλών φωτός που προέκυπταν. Οι καμπύλες αυτές για τις διάφορες τιμές της ακτίνας του πλανήτη φαίνονται στα παρακάτω σχήματα 1Α-1ΣΤ. Στον οριζόντιο άξονα αναπαριστάται ο χρόνος σε αυθαίρετες μονάδες, οι οποίες εξαρτώνται από το ρυθμό λήψης δεδομένων του Scratchboard, ενώ στον κατακόρυφο άξονα αναπαριστάται η ένδειξη του αισθητήρα φωτός επίσης σε αυθαίρετες μονάδες. Όσο μεγαλύτερη είναι η ένδειξη του αισθητήρα τόσο μεγαλύτερη είναι η φαινόμενη φωτεινότητα.

Σχήμα 1Α                                          Σχήμα 1Β

Σχήμα 1Γ                                          Σχήμα 1Δ

Σχήμα 1Ε                                       Σχήμα 1ΑΤ

Ας σημειωθεί ότι η μέγιστη τιμή της ένδειξης φωτεινότητας εξαρτάται από το φωτισμό του περιβάλλοντα χώρου, και παρά την προσπάθειά μας να τον διατηρήσουμε σταθερό, άλλαζε όταν για παράδειγμα άλλαζε θέση κάποιος από εμάς σε επόμενη μέτρηση. Για το λόγο αυτό είναι διαφορετική σε κάθε γραφική παράσταση. Αυτό όμως που φαίνεται να έχει σημασία είναι το ποσοστό της μείωσης της φωτεινότητας κατά τη διάρκεια της διάβασης του πλανήτη, για τα διάφορα μεγέθη πλανητών, μέγεθος που δεν φάνηκε να επηρεάζεται από το διάχυτο φωτισμό. Επίσης δεν καταγράφηκε μεταβολή όταν προγραμματίσαμε τον πλανήτη να κινείται στην προσομοίωση της διάβασης από δεξιά προς τα αριστερά.

Στον Πίνακα 1 φαίνεται, για κάθε ένα από τα παραπάνω σχήματα, ο λόγος της ακτίνας του άστρου προς την ακτίνα του πλανήτη, όπως σχεδιάστηκαν στην οθόνη κατά την προσομοίωση με το λογισμικό Power Point, και η ποσοστιαία μεταβολή στη φαινόμενη φωτεινότητα του άστρου που κατέγραψε το Scratchboard.

Πίνακας 1

Από τη σύγκριση των διαγραμμάτων της προσομοίωσης στα σχήματα 1Α-ΣΤ και των πραγματικών δεδομένων της εικόνας για τον αστέρα HD 209458, φαίνεται ότι η προσομοίωση της μεθόδου ανίχνευσης εξωπλανητών με τη μέθοδο της διάβασης που πραγματοποιήσαμε, αναπαράγει τα πειραματικά δεδομένα σε ικανοποιητικό βαθμό.

Με αυτή την προσομοίωση καταφέραμε, πρώτον, να επιβεβαιώσουμε ότι το ποσοστό της μείωσης της φωτεινότητας ενός άστρου εξαρτάται από την ακτίνα του περιφερόμενου πλανήτη, και επιπλέον να παράγουμε γραφήματα της ίδιας μορφής με τα πραγματικά δεδομένα. Ειδικά για το σχήμα 1Α η ποσοστιαία μείωση της φωτεινότητας είναι ίση με αυτή που παρατηρείται στο άστρο HD 209458, γεγονός που υποδεικνύει ότι ο λόγος της ακτίνας του άστρου HD 209458 προς την ακτίνα του εξωπλανήτη που περιφέρεται γύρω από αυτό είναι περίπου 10, σύμφωνα με την πρόβλεψη της προσομοίωσής μας. Στην πραγματικότητα ο λόγος αυτός είναι περίπου 8.8, αφού η ακτίνα του εξωπλανήτη είναι περίπου 91000 km, ενώ η ακτίνα του ίδιου του άστρου είναι ίση με περίπου 1.14 φορές την ακτίνα του Ήλιου ή  περίπου 800000 km. Συνεπώς, η ακρίβεια της προσομοίωσης είναι αξιοσημείωτα ικανοποιητική.
Κάποια προβλήματα ωστόσο παρέμεναν, αφού λόγω των περιορισμών του Power Point δεν είχαμε τη δυνατότητα να ελέγχουμε την ταχύτητα διάβασης του πλανήτη στο βαθμό που επιθυμούσαμε. Ταυτόχρονα δεν μπορούσαμε να ελέγξουμε την ομαλότητα της κίνησης (frames per second).

Η δεύτερη προσομοίωση

Αφού όμως η ιδέα μας φαινόταν ότι μπορεί να "δουλέψει", αποφασίσαμε να την κάνουμε πιο ρεαλιστική: να φτιάξουμε μια όσο το δυνατό πιο ακριβή επιστημονικά προσομοίωση με την οποία να μπορούμε να δείξουμε πώς η μέθοδος της διάβασης μπορεί να αξιοποιηθεί για να υπολογίσουμε διάφορα χαρακτηριστικά των εξωπλανητών. Αφού το πείραμά μας έδειξε ότι το Scratchboard μπορεί να μετρήσει μεταβολές έντασης φωτός μπροστά από μια οθόνη, αποφασίσαμε να κάνουμε αυτό ακριβώς! Επιπλέον, αποφασίσαμε να παρακάμψουμε το Power Point και να γράψουμε κώδικα στο Scratch, ώστε να έχουμε πλήρη έλεγχο της προσομοίωσης.
Τότε, μέσα από μία σειρά ερωτήσεων που κληθήκαμε να απαντήσουμε, άρχισε ουσιαστικά το ταξίδι μας στους σκοτεινούς ουρανούς της αστρονομίας…
Μπορείτε να κατεβάσετε τον κώδικα απο εδώ.

Γύρω από τι άστρο θα περιφέρεται ο εξωπλανήτης;
Θα ήταν πολύ εξωτικό να μιλήσουμε για λευκούς νάνους ή αστέρες νετρονίων. Επειδή όμως στο πίσω μέρος του μυαλού μας είχαμε να μιλήσουμε για πλανήτες που θα μπορούσαν, ενδεχομένως, να φιλοξενήσουν ζωή, να βρίσκονται δηλαδή σε ό,τι αποκαλείται κατοικήσιμη ζώνη γύρω από ένα άστρο, αποφασίσαμε να εστιάσουμε σε άστρα της κύριας ακολουθίας.

Τι μάζα, τι ακτίνα και τι θερμοκρασία θα μπορούσε να έχει το μητρικό άστρο;

H μάζα ενός άστρου προσδιορίζει σε μεγάλο βαθμό τόσο την ακτίνα του όσο και τη θερμοκρασία του. Η θερμοκρασία του από την άλλη, σχετίζεται με το φασματικό τύπο του άστρου. Ανατρέξαμε σε βάση δεδομένων στο διαδίκτυο και εντοπίσαμε τους φασματικούς τύπους των άστρων γύρω από τα οποία έχουν βρεθεί εξωπλανήτες. Για να είναι ρεαλιστική η προσομοίωσή μας αποφασίσαμε να περιορίσουμε τις επιλογές μας σε άστρα με φασματικούς τύπους Α5, F0, F5, G0, G5, K0, K5, M0, M5. Για αυτούς του τύπους το 20-30% των άστρων έχουν δεδομένη ακτίνα, μάζα και φυσικά θερμοκρασία.

Έτσι, ξεκινώντας η προσομοίωση, ο  μαθητής καλείται να επιλέξει το φασματικό τύπο του άστρου, προσδιορίζοντας έμμεσα την ακτίνα, τη μάζα και τη θερμοκρασία του άστρου. Οι τιμές που αποδίδονται σε αυτά τα μεγέθη, ανάλογα με το φασματικό τύπο, έχουν υιοθετηθεί από το διαδίκτυο.

Η αρχική σελίδα της προσομοίωσης: ο χειριστής επιλέγει το φασματικό τύπο του μητρικού άστρου

Πώς θα επιλέγονται τα χαρακτηριστικά που θα έχει ο εξωπλανήτης;
Το επόμενο βήμα ήταν να επιλεγούν τα στοιχεία του εξωπλανήτη. Να τα επιλέγει ο μαθητής ή να επιλέγονται τυχαία; Αποφασίσαμε η επιλογή να γίνεται τυχαία, ώστε κάθε φορά που τρέχει το πρόγραμμα να είναι διαφορετική. Επιπλέον, δίνεται έτσι η δυνατότητα μέσω μετρήσεων ο μαθητής να υπολογίσει αυτά τα στοιχεία, όπως θα φανεί παρακάτω, με αποτέλεσμα η προσομοίωση να είναι ιδιαίτερα αλληλεπιδραστική.

Ποια είναι τα όρια μέσα στα οποία θα κυμαίνονται η ακτίνα του εξωπλανήτη και η απόστασή του από το μητρικό άστρο;
Όσοι εξωπλανήτες έχουν ανακαλυφθεί έχουν ακτίνες από 1.68RΓΗΣ έως 24.6RΓΗΣ. Το πρόγραμμά μας επιλέγει ακτίνα από 1 – 25 RΓΗΣ, με βήμα 0.1 RΓΗΣ. Επίσης, όσοι εξωπλανήτες έχουν ανακαλυφθεί απέχουν από 0.1 AU – 68 AU (1 AU:  μία αστρονομική μονάδα, η απόσταση Γης - Ήλιου). Η συντριπτική πλειοψηφία τους απέχει από 0.1 – 5 AU και από αυτό το εύρος επιλέγει το πρόγραμμα με βήμα 0.1 AU.

Πώς θα απεικονίζονται το μητρικό άστρο και ο εξωπλανήτης;

Ξέρουμε ήδη από το προηγούμενο βήμα την ακτίνα του μητρικού άστρου και την ακτίνα του εξωπλανήτη. Κάθε άστρο είναι στην πραγματικότητα τόσο μακριά από τη Γη ώστε και με το ισχυρότερο τηλεσκόπιο να φαίνεται ως σημείο (αν και το φαινόμενο seeing θέτει κάποιους περιορισμούς σε αυτό). Δυστυχώς, το Scratchboard δεν μπορεί να ανιχνεύσει μεταβολές όταν η φωτεινή πηγή είναι σημειακή. Αποφασίσαμε έτσι να αναπαραστήσουμε το άστρο με δεδομένη ακτίνα, όση επιτρέπει η οθόνη του υπολογιστή. Επειδή η απόσταση της Γης από το εξωηλιακό σύστημα είναι πολύ μεγάλη σε σύγκριση με την ακτίνα περιφοράς του πλανήτη, το πρόγραμμα αναπαριστά το άστρο με δεδομένη ακτίνα που περιορίζεται από τα όρια της οθόνης, και την ακτίνα του πλανήτη υπό ακριβή κλίμακα, ως προς την ακτίνα του άστρου. Τα άστρα που επιλέγονται από το πρόγραμμα έχουν ακτίνες από 2.2 RHΛΙΟΥ – 0.22 RHΛΙΟΥ, ωστόσο εμείς απεικονίζουμε το άστρο πάντα με την ίδια ακτίνα (βλέπε παρακάτω εικόνα) σαν να βρισκόμαστε κάθε φορά σε διαφορετική απόσταση από αυτό.

Στιγμιότυπο της προσομοίωσης: το άστρο αναπαριστάται πάντα με δεδομένη ακτίνα

Πόσο γρήγορα πρέπει να περνάει ο πλανήτης μπροστά από το άστρο;
Η φυσική δεν αφήνει περιθώρια επιλογής σε αυτό το ερώτημα: με γνωστή τη μάζα του άστρου και την ακτίνα περιφοράς, η περίοδος περιφοράς προκύπτει από τον 3ο νόμο του Κέπλερ. Το πρόγραμμα υπολογίζει αυτή την περίοδο χωρίς να τη γνωστοποιεί στο μαθητή-χειριστή. Για να βρούμε το χρόνο διάβασης υπολογίσαμε το λόγο της διαμέτρου του άστρου προς την περίμετρο της κυκλικής τροχιάς και θεωρώντας την κίνηση ομαλή βρίσκουμε το χρόνο διάβασης.

Όμως, σύμφωνα με τη βιβλιογραφία είναι πολύ μικρή η πιθανότητα να ανιχνεύσουμε με τη μέθοδο της διάβασης έναν εξωπλανήτη με περίοδο μεγαλύτερη από 2 έτη. Έτσι, όταν λόγω της τυχαίας επιλογής της ακτίνας περιφοράς προκύπτει Τ>2 έτη επιλέγεται νέα ακτίνα μέχρι να προκύψει περίοδος Τ<2 έτη.

Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι η περίοδος προκύπτει να είναι 200 ημέρες. Προφανώς, η προσομοίωση πρέπει να επιταχυνθεί ώστε να μπορεί να είναι λειτουργική. Πόσο πολύ να επιταχυνθεί; Πειραματιστήκαμε με διάφορες τιμές. Φαίνεται ότι αντιστοιχώντας 1 ημέρα σε 0.02 δευτερόλεπτα προκύπτουν αναπαραστάσεις που εξελίσσονται σε ικανοποιητικό χρόνο. Πράγματι, με βάση τα δεδομένα που έχουμε η μικρότερη περίοδος που μπορεί να προκύψει είναι 7.8 ημέρες και η μέγιστη 730 ημέρες. Αυτό σημαίνει ότι οδηγούμαστε σε χρόνους από περίπου 0.2 sec – 15sec για μια περίοδο. Επειδή για να προκύψουν έγκυρες μετρήσεις φαίνεται ότι χρειάζονται τουλάχιστον 3 διαβάσεις, ο συνολικός χρόνος της προσομοίωσης κυμαίνεται από 0.6s – 45s.

Με αυτό το σκεπτικό η προσομοίωση που θα τρέξει είναι αρκετά ρεαλιστική αν και έχουν γίνει κάποιες απλουστεύσεις (π.χ. η τροχιά είναι κυκλική και η κίνηση ομαλή, ενώ το άστρο φαίνεται πάντα υπό την ίδια γωνία και με το ίδιο λευκό χρώμα).

Μετρήσεις

Το επόμενο βήμα είναι η διαδικασία των μετρήσεων. Μπροστά από την οθόνη του υπολογιστή στο οποίο θα τρέξει η προσομοίωση της διάβασης τοποθετείται το Scratchboard σε απόσταση 11 cm. Το πρόγραμμα ενεργοποιείται, γίνεται η εισαγωγή του φασματικού τύπου του άστρου, υπολογίζονται οι διάφοροι παράμετροι όπως ήδη εξηγήσαμε και ξεκινά η συλλογή δεδομένων, για όσο χρόνο διαρκεί η διάβαση. Εδώ είχαμε 2 δυνατότητες: ένας υπολογιστής να τρέχει την προσομοίωση κι άλλος να καταγράφει και να απεικονίζει «ζωντανά» τα δεδομένα ή ο ίδιος υπολογιστής να τρέχει την προσομοίωση και στη συνέχεια να απεικονίζει στην οθόνη τα δεδομένα ώστε να γίνουν μετρήσεις. Επιλέξαμε τη 2η λύση προκειμένου να είναι πιο εύκολη η πραγματοποίηση της προσομοίωσης και από άλλες ομάδες μαθητών.
Έτσι προκύπτουν δεδομένα όπως αυτά που διακρίνονται στo παρακάτω σχήμα. Στον οριζόντιο άξονα αναπαριστάται ο χρόνος ενώ στον κατακόρυφο η φωτεινότητα του μητρικού άστρου (ένταση φωτός που καταγράφει ο αισθητήρας φωτός του Scratchboard).

Μείωση της φωτεινότητας ενός άστρου μετά από 2 διαβάσεις ενός εξωπλανήτη

Το πρόγραμμα ενημερώνει το μαθητή για τη χρονική διάρκεια της συλλογής των δεδομένων σε ημέρες και ο μαθητής μπορεί να υπολογίσει την περίοδο περιφοράς χρησιμοποιώντας έναν απλό χάρακα, για να μετρήσει την απόσταση δυο διαδοχικών ελαχίστων της φωτεινότητας και κάνοντας χρήση της απλής μεθόδου των τριών. Για παράδειγμα, αν η χρονική διάρκεια συλλογής των δεδομένων δοθεί ότι είναι 600 ημέρες, ο μαθητής μετράει με το χάρακα  την οριζόντια απόσταση  D1 του πρώτου και του τελευταίου δεδομένου (η οποία εξαρτάται προφανώς από το μέγεθος της οθόνης ή της επιφάνειας προβολής, αν χρησιμοποιηθεί βιντεοπροβολέας). Στη συνέχεια μετράει την οριζόντια απόσταση D2 των δύο διαδοχικών ελαχίστων της φωτεινότητας. Η απόσταση D1 αντιστοιχεί σε 600 ημέρες, σε πόσες αντιστοιχεί η απόσταση D2;
Εναλλακτικά, η ίδια μέτρηση μπορεί να γίνει ηλεκτρονικά αντικαθιστώντας τις οριζόντιες μετρήσεις με χάρακα με μέτρηση των εικονοστοιχείων (pixels), από την πλήρη οθόνη προβολής του Scratch (παραπάνω εικόνα).

Ο μαθητής εισάγει την περίοδο που υπολόγισε και το πρόγραμμα υπολογίζει και εμφανίζει την αντίστοιχη απόσταση του εξωπλανήτη από το μητρικό άστρο, και την αντίστοιχη αβεβαιότητα στη μέτρηση, μιας και γνωρίζει την «πραγματική» απόσταση (που έχει επιλέξει τυχαία κατα την εκκίνηση της προσομοίωσης). Στη συνέχεια, από το ίδιο διάγραμμα ο χειριστής  υπολογίζει την ποσοστιαία μεταβολή της έντασης του φωτός λόγω της διάβασης του πλανήτη, πραγματοποιώντας παρόμοιες μετρήσεις ηλεκτρονικά ή με χάρακα, αλλά αυτή τη φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση.

Επειδή αυτό το ποσοστό εξαρτάται, όπως προκύπτει από τη γεωμετρία, μόνο από το λόγο των τετραγώνων των ακτινών του άστρου και του πλανήτη, υπολογίζεται η ακτίνα του πλανήτη.

Είναι ο εξωπλανήτης κατοικήσιμος;

Αυτό εξαρτάται από τουλάχιστον 2 παράμετρους: τη θερμοκρασία του και τη μάζα του. Η θερμοκρασία πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 273Κ και μικρότερη από 373Κ ώστε να υπάρχει νερό σε υγρή μορφή. Ταυτόχρονα, η μάζα του πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη μισή μάζα της Γης, διαφορετικά η μικρή βαρύτητα δε μπορεί να συγκρατήσει ατμόσφαιρα, και μικρότερη από 10 φορές τη μάζα της Γης, διαφορετικά η ισχυρή βαρύτητα συγκρατεί πολλά αέρια μετατρέποντας τον πλανήτη σε αέριο γίγαντα.

Δυστυχώς, με τη μέθοδο της διάβασης δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τη μάζα του πλανήτη. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε χοντρικά τη θερμοκρασία του, παραβλέποντας τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της ατμόσφαιράς του, αν έχει ατμόσφαιρα. Λαμβάνοντας υπόψη τη θερμοκρασία του μητρικού άστρου, την απόσταση από αυτό και ότι η ενέργεια που εκπέμπει  το άστρο κατανέμεται ομοιόμορφα στην επιφάνεια μιας σφαίρας με ακτίνα την απόσταση άστρου-εξωπλανήτη, προκύπτει ότι η θερμοκρασία του πλανήτη δίνεται από την παρακάτω σχέση (ο αριθμητικός παράγοντας 214 προκύπτει από τη μετατροπή της ακτίνας του άστρου από ακτίνες του Ήλιου σε αστρονομικές μονάδες):

Το πρόγραμμα χρησιμοποιεί αυτή τη σχέση και υπολογίζει τη θερμοκρασία του πλανήτη. Αν αυτή δε βρίσκεται στα επιτρεπτά όρια τότε εμφανίζεται μήνυμα ότι ο πλανήτης δεν είναι κατοικήσιμος. Διαφορετικά, δε μπορεί να αποφασιστεί η κατοικισημότητα του εξωπλανήτη, αφού δε γνωρίζουμε τη μάζα του.

Η προσομοίωση ολοκληρώνεται και μπορεί να αρχίσει εκ νέου, αν το επιθυμεί ο χειριστής της.